|
С. Г. Гиндикин, кандидат физико-математических наук
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Часть третья.
|
Математические и механические задачи
в работах Гюйгенса о маятниковых часах
|
После конкурса Гюйгенс вернулся к размышлениям над
изохронным маятником. Он рассмотрел "перевернутую" циклоиду и исследовал,
как по ней скатывается тяжелая точка. Пусть г - радиус производящего
круга, а точка катится с высоты Н
|v(t)| = V```(2g(Н-h(t)); (на всякий случай: V```
- квадратный корень - прим. ред.)
скорость направлена по касательной к циклоиде. Пользуясь
приведенным выше правилом проведения касательных, была найдена вертикальная
составляющая скорости. Если в произвольной точке циклоиды А проведена
касательная AD и точка С - проекция А на вертикаль, то |CD|= h(t).
В соответствии с этим построением
Теперь можно забыть про движение точки по циклоиде
и исследовать прямолинейное движение h(t) со скоростью vверт(t)
при условии h(0) = h. Нужно найти значение t = t', для которого
h(t') = 0. Это типичная задача на решение дифференциального уравнения,
но Гюйгенс придумал искусственный прием. Он рассмотрел еще одно
вспомогательное движение: пусть по окружности диаметра Н (а не 2r)
равномерно вращается точка со скоростью w, начиная с верхней точки.
Пусть в момент времени t она находится на высоте h(t) в точке А.
Нетрудно найти вертикальную составляющую скорости в этой точке.
Действительно,
где O - центр, С - проекция А на вертикальный диаметр.
Если 2|w| = НV``(g/r), то проекция вращающейся точки на вертикаль
будет двигаться так же, как проекция на вертикаль точки, катящейся
по циклоиде. В частности, все точки окажутся внизу через t' = pV``
(r/g). (p - число "пи" - V.V.) При этом Н сократилось, что и отражает
замечательный факт: время t', через которое точка, катящаяся по
циклоиде, окажется в нижней точке, не зависит от высоты, на которой
начинается движение, и равно pV`` (r/g). Значит циклоида является
таутохронной.
На этом решение задачи об изохронном маятнике еще
не закончено. Показано, что конец маятника должен двигаться по циклоиде,
но надо еще организовать это движение. Для этой цели и применены
щеки, на которые наматывается нить. Надо найти их форму.
В "Маятниковых часах" эта задача решена как часть
общей задачи о развертке кривых. Интересно, что этими вопросами
Гюйгенс начал интересоваться еще в 1654 г., задолго до занятий изохронным
маятником. Гюйгенс рассмотрел произвольную кривую L, в точке А которой
закреплена нить фиксированной длины l, и исследовал развертку -
кривую М, которую описывает конец натянутой нити, когда она постепенно
наматывается на L. Позднее М чаще будут называть эвольвентой L,
а L - эволютой М. Гюйгенс отметил, что нить, которая в каждый момент
времени направлена по касательной к L, с другой стороны, перпендикулярна
вектору cкорости концевой точки нити. Значит, касательные к кривой
L являются нормалями к ее развертке М. Поскольку, как правило, кривая
восстанавливается по множеству своих касательных (она является их
огибающей), кривую можно обычно восстановить по ее развертке.
Теперь надо найти кривую, разверткой которой является
циклоида. Оказывается, что это опять циклоида, только поднятая на
2r и сдвинутая на полпериода.
Удобно считать, что круг, образующий нижнюю циклоиду,
катится, опережая верхний на полпериода. Если рассмотреть их положения,
имеющие точку касания С, то соответствующие точки циклоид А1, A2
будут лежать на одной прямой с С. В силу сказанного выше о касательных
и нормалях к циклоиде, эта прямая будет касаться верхней циклоиды
и перпендикулярна касательной к нижней. Это и доказывает утверждение
Гюйгенса. Остается заметить, что необходимая длина нити равна 4r.
Итак, если закрепить в острие верхней циклоиды конец
нити длиной 4r с грузом на другом конце, то груз будет двигаться
по нижней циклоиде. На этом построение циклоидального маятника закончено.
Несколько следствий. Нить намотается полностью, когда
ее конец окажется в общей точке для обеих циклоид. Отсюда следует,
что длина одной арки циклоиды равна удвоенной длине нити, т. е.
8r. Эта теорема, которая у Гюйгенса была простым следствием теории
развертки кривых, была доказана английским математиком К. Реном
в 1658 г. в связи с конкурсом Паскаля.
Теорема Рена произвела на современников очень большое
впечатление. Дело в том, что уже после того, как математики достигли
больших успехов в нахождении площадей криволинейных фигур, они никак
не могли продвинуться в проблеме ректификации - построении циркулем
и линейкой отрезка, равного длине кривой, или алгебраической ректификации
- выражении длины через алгебраические операции. К середине XVII
в. начали думать, что ректификация вообще никогда невозможна (так
иногда толкуют слова Декарта "мы, люди, не можем найти соотношения
между прямыми и кривыми"). Ректификация циклоиды, найденная Реном,
опровергала эту точку зрения. Некоторое время думали, что все дело
в том, что циклоида не является алгебраической кривой, но В. Нейль,
И. Хейрат и П. Ферма независимо обнаружили, что алгебраическую ректификацию
допускает полукубическая парабола у2 = ах3 (работа Нейля даже предшествовала
работе Рена, но не была известна).
Теория Гюйгенса вскрыла казавшуюся таинственной причину,
по которой полукубическая парабола обладает этим замечательным свойством.
Оказалось, что ее разверткой является обычная квадратичная парабола.
Гюйгенс систематически продумал следствия, которые дает теория развертки
кривых сверх применений к маятникам: "Для применения моего изобретения
к маятникам мне необходимо было установить новую теорию, а именно
теорию образования новых линий при посредстве развертывания кривых
линий. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых и прямых линий.
Я изучил этот вопрос несколько дальше, чем нужно было для моей цели,
так как теория показалась мне изящной и новой" [7]. Теория развертки
кривых, в которой впервые при изучении кривых, по существу, появились
вторые производные, была одной из первых глав дифференциальной геометрии.
Другое следствие касается математического маятника.
При малых амплитудах колебаний щеки будут мало сказываться на движении
маятника и движение циклоидального маятника будет мало отличаться
от движения математического маятника длины l = 4r. Отсюда получается
приближенная формула для периода колебаний математического маятника:
T = 4t' = 4pV`` (r/g) = 2pV`` (l/g).
где p - пи
Еще Галилей утверждал, что квадраты периодов относятся
как длины маятников, но неизвестно, как он пришел к этому заключению.
|
